Metoda największej wiarygodności

Wśród metod powszechnie znanych i stosowanych metoda najmniejszych kwadratów jest pierwszoplanową.

Jednakże istnieją inne metody szacowania parametrów modeli może nie tak proste ale równie skuteczne.

Wadą MNK jest to iż jest ona zbyt wrażliwa na obserwacje "odstające" zbytnio od pozostałych, przez co wyniki estymacji mogą być zniekształcone.

Można stosować inne funkcje straty niż suma kwadratów odchyleń wartości rzeczywistych od teoretycznych przyjętej w metodzie najmniejszych kwadratów.

Możemy minimalizować sumę wartości bezwzględnych odchyleń, ich maksymalne wartości bezwzględne lub np. sumę wartości bezwzględnych (modułów) odchyleń względnych (powszechnie znany błąd MAPE jest średnią tych błędów).

Metoda największej wiarygodności może być stosowana do estymacji parametrów modeli wielu typów.

Podstawowa przesłanka tej metody opiera się na funkcji wiarygodności (stąd nazwa metody).

MNW stosujemy do modeli z addytywnym składnikiem losowym i o założonym typie jego rozkładu (zakładamy rozkład normalny).

Stosując MNW wyznaczę parametry liniowego modelu ekonometrycznego zakładając normalny rozkład składnika losowego.

Wiemy ze przy normalnym rozkładzie składników losowych ,wartości yi mają rozkład normalny o parametrach

- średnia równa

- i odchylenie standardowe

Zatem oprzemy się na funkcji gęstości rozkładu normalnego:

i wstawiając do niej odpowiednie wartości otrzymamy funkcję wiarygodności:

Wykorzystamy teraz aparat matematyczny aby przekształcić ten niemiły dla oka wzór.

Postaram się ukazać przekształcenia dokładniej niż w podręcznikach gdzie najczęściej pomija się "oczywiste" kwestie. 

Skorzystam z własności logarytmu: ln(xyz)=ln(x)+ln(y)+ln(z)

i po logarytmowaniu wzór przyjmuje kolejne postacie:

Iloczyny wyrażeń logarytmowanych zamieniają się na sumy logarytmów tych wyrażeń:

Wyrażenie za znakiem sumy zapiszę na macierzach:

Obliczę pochodne cząstkowe po beta i po sigma:

Ponieważjest skalarem (macierz 1 na 1) to:

czyli:

Przyrównując pochodną do zera :

i tak otrzymaliśmy wzór na estymator parametrów strukturalnych który jak widać jest identyczny z otrzymanym metodą najmniejszych kwadratów.

Pochodna po sigmie ( po odchyleniu standardowym):

Wiadomo , że:

i przyrównując pochodną do zera otrzymujemy:

czyli:

i stąd:

Zatem wzór na odchylenie standardowe składnika resztowego otrzymany metodą największej wiarygodności wygląda następująco:

Jak widać różni się od nieobciążonego estymatora stosowanego przy weryfikacji modelu MNK:

Jednakże przy rosnącej próbie (dla wysokich n) zauważamy iż różnica pomiędzy obliczonymi odchyleniem jest coraz mniejsza.

opracował:
red. Mariusz


Wszelkie publikacje prezentowane tutaj są chronione prawami autorskimi.
Kopiowanie zabronione zgodnie z Ustawą z dnia 4 lutego 1994 r. o prawie autorskim
i prawach pokrewnych
All right reserved © 2006 www.ekonometria.com

ekonometria