Uogólniona metoda najmniejszych kwadratów (UMNK)

 Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów zakłada m.in. iż wariancja składnika losowego jest stała a do obliczenia estymatora parametrów strukturalnych korzystamy ze wzoru:

gdzie:

oznacza macierz transponowaną macierzy X a

macierz odwrotną do macierzy

Estymator macierzy wariancji i kowariancji jak wiadomo jest równy:

Niestety, gdy mamy do czynienia z autokorelacją składnika losowego oznacza to, iż pomiędzy zmiennymi losowymi a ich opóźnieniami istnieje zależności stochastyczna.

Przypadek heteroskedastyczności natomiast występuje wtedy, gdy wariancje składnika losowego nie są stałe.

Jeżeli mamy do czynienia z powyższymi zjawiskami to mówimy o tzw.braku sferyczności składnika losowego.

Estymator oszacowany KMNK nadal jest nieobciążony i zgodny ale traci efektywność, ponieważ oszacowanie

jest obciążonym estymatorem macierzy wariancji i kowariancji parametrów strukturalnych modelu

a gdy równość: nie zachodzi.

Występuje niedoszacowanie wariancji składnika losowego, a zatem i błędów standardowych parametrów i w efekcie wyliczone statystyki t-Studenta są za wysokie.

Obraz weryfikacji modelu jest nieprawdziwy.

Poza tym obserwujemy zbyt wysoką wartość R2 czyli współczynnika determinacji.

Powstaje złudne dobre dopasowanie modelu do danych empirycznych.

Rozwiązaniem problemu może być inna metoda szacowania parametrów modelu.

Jedną z nich jest uogólniona metoda najmniejszych kwadratów.

Ma ona zastosowanie gdy macierz wariancji i kowariancji odchyleń składnika losowego może być zapisana równaniem:

gdzie: - macierz symetryczna określona dodatnio,- nieznany stały parametr.

Macierz ta nie musi być macierzą diagonalną, a zapisać ją można:

Zatem UMNK stosujemy wyłącznie gdy macierz omega jest znana lub możliwe jest jej oszacowanie.

Estymator UMNK obliczamy wtedy według wzoru:

zaś estymator macierzy wariancji i kowariancji estymatora parametrów strukturalnych:

W powyższym wzorze Se jest estymatorem wariancji składnika losowego:

Można dowieść, że estymator b jest zgodny i asymptotycznie efektywny.

Gdy mamy do czynienia z przypadkiem heteroskedastyczności , przy braku autokorelacji macierz omega jest macierzą diagonalną a jej elementy oznaczamy przez:

Jeden z łatwiejszych przypadków zakłada, że za elementy te przyjmujemy moduły reszt modelu szacowanego KMNK:

Macierz przyjmuje postać:

Macierz odwrotna jak łatwo zgadnąć jest następująca:

opracował:
red. Marian


Wszelkie publikacje prezentowane tutaj są chronione prawami autorskimi.
Kopiowanie zabronione zgodnie z Ustawą z dnia 4 lutego 1994 r. o prawie autorskim
i prawach pokrewnych
All right reserved © 2006 www.ekonometria.com

ekonometria